人偶师的疯狂之旅:等比数列

来源:百度文库 编辑:农企信息网 时间:2019/12/16 05:35:15
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等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。
例如数列
这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,2198与2197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为q。
目录
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1 公式1.1 公比公式
1.2 通项公式
1.3 求和公式
1.4 當時,等比數列無限項之和
2 性质
3 参见
[编辑]公式
[编辑]公比公式
根据等比数列的定义可得:

[编辑]通项公式
我们可以任意定义一个等比数列
这个等比数列从第一项起分别是,公比为q,则有:
a2 = a1q,
a3 = a2q = a1q2,
a4 = a3q = a1q3,

以此类推可得,等比数列的通项公式为:
an = an ? 1q = a1qn ? 1,
[编辑]求和公式
对于上面我们所定义的等比数列,即数列。我们将所有项进行累加。
于是把称为等比数列的和。记为:

如果该等比数列的公比为q,则有:
(利用等比数列通项公式) (1)
先将两边同乘以公比q,有:
该式减去(1)式,有:(q ? 1)Sn = a1qn ? a1 (2)
然后进行一定的讨论当时,
而当q = 1时,由(2)式无法解得通项公式。
但我们可以发现,此时:

= na1
综上所述,等比数列的求和公式为:

经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时

[编辑]當時,等比數列無限項之和
由於當及 n 的值不斷增加時,qn的值便會不斷減少而且趨於0,因此無限項之和:

[编辑]性质
如果数列是等比数列,那么有以下几个性质:

证明:当时,
对于,若,则
证明:

等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项,其中,则有
在原等比数列中,每隔k项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。
也成等比数列。
[编辑]参见
等差数列
1个分类: 序列